Система лабораторных работ по алгебре и началам анализа

  • ЛР10А.3.
  • ЛР10А.5.
  • ЛР11А.1.
  • ЛР11А.3.

  • Скачать 23.93 Kb.


    Дата29.09.2017
    Размер23.93 Kb.

    Скачать 23.93 Kb.

    Система лабораторных работ по алгебре и началам анализа.


    Задача учителя – организовать процесс обучения таким образом, чтобы каждое усилие по овладению знаниями протекало в условиях развития познавательных способностей учащихся, формирования у них таких основных приемов умственной деятельности, как анализ, синтез, абстрагирование, обобщение, сравнение. Школьников необходимо учить делать самостоятельные наблюдения, высказывать, проверять предположения и догадки, уметь делать обобщение изучаемых факторов, творчески применять знания в новых, изменяющихся ситуациях

    Лабораторные работы по алгебре и началам анализа, также, как и практические работы по геометрии, проводятся для усиления практической направленности обучения, для развития творческой самостоятельности и интереса к математике, для активизации познавательной деятельности, способствуют прочному, неформальному усвоению изучаемого материала.

    Позна́ние - совокупность процессов, процедур и методов приобретения знаний о явлениях и закономерностях объективного мира.

    Предложенные лабораторные работы проводятся по порядку в соответствии с календарно-тематическим планированием.

    Лабораторные работы проводятся с учетом индивидуальные особенности учащихся, в частности уровень их подготовки, способности, работоспособность. Поэтому некоторые учащиеся выполняют работу индивидуально, другие - группой, причем эти группы по возможности должны быть однородными по уровням обученности и обучаемости.

    В большинстве лабораторных работ требуется изготовить шаблон, модель, карточки или инструмент. Эту часть лабораторной работы учащиеся, в целях экономии времени, выполняют дома, получив предварительно подробные и четкие рекомендации, сопровождаемые показом образцов.

    ЛР10А.1.

    Цель работы: развить и закрепить навыки определения углов, заданных в радианной мере.

    Оборудование: плотная бумага, ножницы, фломастеры или цветные карандаши.

    Порядок проведения работ:

    1. Изготовить из плотного картона транспортир с радианной шкалой (до 0,05 рад).

    2. Пользуясь изготовленным транспортиром:

      • построить следующие углы: 2,5 рад; -1,8 рад; -3,25 рад; 5 рад; 10,3 рад; -6,5 рад;

    8,45 рад;

    • найти радианные меры углов, изображенных на рисунках:

    а) hello_html_m790a7792.png б) hello_html_520ad171.png в) hello_html_mc903c90.png

    1. Работа учащихся оценивается.

      Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius - луч, радиус) - угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу. Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ), а также в системах единиц СГС и МКГСС.


    ЛР10А.2.

    Цель работы: развить и закрепить навыки нахождения значений синуса и косинуса углов, заданных в градусной мере.hello_html_2517c132.png

    Оборудование: плотная бумага, ножницы, фломастеры или цветные карандаши.

    Порядок проведения работ:

    1. На лист плотного картона наклеить круг радиуса R = 10 см, вырезанный из миллиметровой бумаги. На окружности этого круга нанести две шкалы: градусную (с делениями в 1°) и радианную (с делениями в 0,1 рад). В центре круга укрепить прочную нить.

    2. Пользуясь изготовленным пособием, найти приближенные значения синуса и косинуса углов в 30°,120°, 135°,180°, 240°, 325°, -55°, -160°, -270°, -330°, 400°, 1000°, 2,5рад, 4,1 рад, 5,8 рад, π /3 рад,

    -5π /4 рад.hello_html_m55b255c0.png

    3) Найти по модели: а) sin α, если cos α ≈ -0, 43, π < α <3π/2; б) cos α, если sin α ≈ -0,9, 3π /2 < α < 2π.

    1. Работа учащихся оценивается.


    ЛР10А.3.


    Цель работы: развить и закрепить навыки исследования графиков функций.

    График функции - понятие в математике, которое даёт представление о геометрическом образе функции.

    Оборудование: карточки с графиками функций.

    Порядок проведения работ:

    Дана функция у = f(x), определенная на [-6; 6].

    1. Найдите по графику: а) f(3); f(-1); f(5); б) те значения х, при которых значение функции равно 1.

    2. Исследуйте функцию. Укажите:

    а) множество значений функции;

    Область значений (или множество значений) функции - множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция.

    б) координаты пересечения графика с осями координат;

    в) промежутки знакопостоянства;

    г) промежутки монотонности (промежутки убывания и возрастания);

    д) точки экстремума, вид экстремума, экстремумы;

    е) является ли функция четной или нечетной.

    3) Для каждого а найдите число корней уравнения f(x) = a.

    Уравне́ние - равенство вида f ( x 1 , x 2 … ) = g ( x 1 , x 2 … ) ,x_\dots \right)=g\left(x_,x_\dots \right)} , где чаще всего в качестве f , g выступают числовые функции, хотя на практике встречаются и более сложные случаи - например, уравнения для вектор-функций, функциональные уравнения и другие.

    4) Найдите все такие b, при которых данная функция убывает на отрезке [b; b 1].

    5) Работа учащихся оценивается.


    ЛР10А.4.


    Цель работы: развить и закрепить навыки построения и чтения графиков функций.

    Оборудование: миллиметровая и плотная бумага, ножницы, фломастеры или цветные карандаши.

    Порядок проведения работ:

    1) На листе миллиметровой бумаги построить прямоугольную систему координат и график некоторой функции.

    Прямоугольная система координат - прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует её широкому применению.

    2) Учитель собирает все карточки с графиками функций и, предварительно перемешав, раздает их всем присутствующим ученикам, сразу же учитывая уровень обученности каждого.

    3) Учащиеся исследуют графики функций, записывая свойства в тетрадях.

    4) Работа учащихся оценивается.


    ЛР10А.5.


    Цель работы: развить и закрепить навыки построения графиков тригонометрических функций, выполнения преобразований графиков, решения уравнений.

    Тригонометри́ческие фу́нкции - элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла (дуги) в круге).

    Оборудование: плотная и миллиметровая бумага, ножницы, фломастеры или цветные карандаши.

    Порядок проведения работ:

    1. Из плотного картона изготовить шаблоны для вычерчивания графиков функций: а) у=sin x, б) у = 2sin x , в) у = 0,5sin x, г) у = sin 2x, д) у = sin x/2. За масштабную единицу в каждом случае принять отрезок, равный 1 см.

    2. Пользуясь изготовленными шаблонами, построить графики функций:

    a) у = sin x 1, b) у = sin x -2, c) у = -sin x, d) у = 1 - sin x, e) y = sin (x π/2), f) y = sin (x - π/4), g) y = - sin 2x, j) y = 2(1 – sin x), i) y = 0,5 sin(x π/2), q) y = 1 – sin x/2, k) y = 0,5sin(x 1) -2.

    3) а) Начертить на миллиметровой бумаге график функции у = sin x (за масштабную единицу взять отрезок, равный 5 см).

    б) Наложить на чертеж линейку так, чтобы определяемая ей прямая соответствовала графику функции у = – 0,5х, и найти (с точностью до 0,01) корни уравнения sin x= – 0,5х.

    в) При помощи построенного графика и линейки решить уравнения:

    a) sin x = х, b) sin x = πх, c) sin( x π/2) = х, d) πх sin(2x) = 0.

    4) Работа учащихся оценивается.


    ЛР10А.6.


    Цель работы: развить и закрепить навыки построения графиков тригонометрических функций, выполнения преобразований графиков, решения уравнений.

    Оборудование: плотная бумага, ножницы, фломастеры или цветные карандаши.

    Порядок проведения работ:

    1. Пользуясь изготовленными ранее шаблонами, построить графики функций:

    1. y = cos x - 1, b) y = 1 – cos x, c) y = cos x/2 1, d) y = (cos x)/2, e) y = 2 cos (x – π/4).

    1. При помощи шаблонов найти с точностью до 0,01 корни следующих уравнений:

    1. cos x = x2, b) cos x = x/π, c) cos 2 x = ׀ x ׀ , d) x 2 cos x = 1.

    1. Работа учащихся оценивается.


    ЛР10А.7.


    Цель работы: развить и закрепить навыки построения графиков тригонометрических функций, выполнения преобразований графиков, решения уравнений.

    Оборудование: плотная бумага, ножницы, фломастеры или цветные карандаши.

    Порядок проведения работ:

    1. Из плотного картона изготовить шаблоны для вычерчивания графиков функций y = tg x (за масштабную единицу принять отрезок, равный 1 см).

    2. При помощи шаблона вычертить графики следующих функций:

    a)y = tg x 1, b) y = tg (x – π/4), c) y = tg (x π/2), d) y = - tg x, e) y = - tg (x π/2).

    3) Работа учащихся оценивается.


    ЛР10А.8.


    Цель работы: развить и закрепить навыки построения графиков тригонометрических функций, выполнения преобразований графиков, решения уравнений.

    Оборудование: плотная бумага, ножницы, фломастеры или цветные карандаши.

    Порядок проведения работ:

    1) При помощи шаблона для вычерчивания тангенсоиды, построить графики следующих функций:

    a) y = сtg x, b) y = сtg x 1, c) y = сtg (x π/2), d) y = -сtg x, e) y = - сtg (x π/2).

    f) y = сtg (xπ/4 ).

    2) Работа учащихся оценивается.


    ЛР10А.9.


    Цель работы: изучение механического смысла производной.

    На рисунке 1 изображен график зависимости пути некоторого движения от времени.

    а) Вычислите среднюю скорость движения на отрезках времени [0; 1], [-2; 1], [-3; 3], [-1;

    Ско́рость (часто обозначается v → }} , от англ. velocity или фр. vitesse, исходно от лат. vēlōcitās) - векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки относительно выбранной системы отсчёта; по определению, равна производной радиус-вектора точки по времени.
    3]

    б) В каких точках скорость движения равна нулю?

    в) Вычислите приблизительно скорость движения в начальный момент времени (t = - 3) и в конечный (t = 3).

    Моме́нт вре́мени - точка на временной оси. О событиях, соответствующих одному моменту времени, говорят как об одновременных. В научных моделях моменту времени соответствует состояние системы (мгновенное состояние).

    г) Найдите точки, в которых скорость равна 1.

    д) В какой момент времени скорость движения наибольшая?

    е) Начертите примерный график скорости.

    ж) Работа учащихся оценивается.


    ЛР10А.10.


    Цель работы: изучение геометрического смысла производной.

    Оборудование: миллиметровая бумага.

    Перечертите (лучше всего на миллиметровку) график функции, изображенный на рисунке 2

    а) } Выберите З точки графика, проведите в них касательные и вычислите при5лиженно их угловые коэффициенты.

    Угловой коэффициент прямой - коэффициент k в уравнении y = k x + b прямой на координатной плоскости, численно равен тангенсу угла (составляющего наименьший поворот от оси Ox к оси Оу) между положительным направлением оси абсцисс и данной прямой линией.

    б) В какой точке касательная параллельна оси Ох? Что можно сказать о скорости изменения функции в этой точке?

    в) В какой точке касательная расположена круче всего? Что можно сказать о скорости изменения функции в этой точке?

    г) Найдите точки, в которых касательная наклонена к оси под углом 45°.

    д) В каких точках угловой коэффициент касательной отрицателен?

    е) Нарисуйте примерный график изменения углового коэффициента касательной.

    ж) Работа учащихся оценивается.


    Рис. 1 Рис. 2

    hello_html_4be8cf4e.png


    ЛР11А.1.


    Цель работы: ознакомить учащихся с одним из примеров применения показательной функции.

    Показательная функция - математическая функция f ( x ) = a x } , где a называется основанием степени, а x - показателем степени.

    Оборудование: миллиметровая бумага

    Порядок проведения работ:

    Если при радиоактивном распаде количество вещества за сутки уменьшается вдвое, то по истечении х суток от массы М0 останется масса hello_html_4acaa5a8.gif.

    Количество вещества - физическая величина, характеризующая количество однотипных структурных единиц, содержащихся в веществе. Под структурными единицами понимаются любые частицы, из которых состоит вещество (атомы, молекулы, ионы, электроны или любые другие частицы).
    Радиоакти́вный распа́д (от лат. radius «луч» и āctīvus «действенный») - спонтанное изменение состава (заряда Z, массового числа A) или внутреннего строения нестабильных атомных ядер (нуклидов) путём испускания элементарных частиц, гамма-квантов и/или ядерных фрагментов.
    Пользуясь указанной формулой, определить:

    1. Сколько радиоактивного вещества останется через 1,5 суток; через 3 суток?

    2. Через сколько суток количество вещества уменьшится в 128 раз?

    3. Положив в данной формуле значение массы М0 радиоактивного вещества равным единице, заполнить таблицу значений функции М(х) для следующих значений аргумента х: 0, 1/4, 1/2, 1, 2, 3, 4, 5.

    4. Построить график функции hello_html_6aa41d75.gif.

    5. Через сколько суток количество вещества уменьшится в 10 раз? Определить по графику.

    6) Работа учащихся оценивается.


    ЛР11А.2.


    Цель работы: ознакомить учащихся с практическим приложением показательной функции.

    Оборудование: миллиметровая бумага

    Порядок проведения работ:

    Сила трения железного троса, намотанного на железный барабан, дает возможность меньшей силе Р0 уравновесить большую силу Р. Зависимость между уравновешенными силами выражается формулой Р=Р0*3п, где п – число витков торса на барабане.

    1. Какой груз можно удержать силой Р0 = 50Н, если трос обхватывает барабан 0,5 раза; 1 раз; 1,25 раза; 1,75 раза?

    2. Найти удерживающую силу Р0, если она уравновешивает силу Р = 270 Н с помощью троса, обмотанного вокруг барабана 1,5 раза; 3 раза?

    3. Сколько раз трос намотан на барабан, если силой в 50 Н удерживается груз в 15 кг; в 45 кг?

    4. Положив в формуле Р=Р0*3п значение Р0 равным единице, заполнить таблицу значений функции Р(п) для следующих значений аргумента п: 0, ¼, ½, 1, 2, 3.

    5. Построить график функции Р=3п и, пользуясь графиком, определить: а) какой груз может уравновесить единичная сила, если торс обхватывает барабан 0,75 раза; 1,5 раза; 2,5 раза? б)каково число витков троса на барабане, если удерживаемый груз равен 6; 8; 9 единицам силы?

    6) Работа учащихся оценивается.


    ЛР11А.3.


    Цель работы: Построить график логарифмической функции, выяснить свойства.

    Логари́фм числа b по основанию a (от греч. λόγος - «слово», «отношение» и ἀριθμός - «число») определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a , чтобы получить число b . Обозначение: log a ⁡ b b} , произносится: «логарифм b по основанию a ».

    Оборудование: миллиметровая бумага

    Порядок проведения работ:

    Дана логарифмическая функция у = log2x.

    1. Заполнить таблицу значений функции у, давая аргументу х следующие значения: 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8.

    2. Построить ряд точек, соответствующих числовым значениям функции у = log2x. Почему эти точки можно соединить плавной кривой?

    3. Проектируя график функции на ось Ох, найти область определения функции;

      Область определения или область задания функции - множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.
      проектируя график на ось Оу, определить область изменения функции.

    4. Установить с помощью таблицы и графика, что функция у = log2x возрастает на всей области ее определения. Убедиться, что равным приращениям аргумента соответствуют неравные приращения функции.

      Приращение функции f ( x ) в точке x 0 } - функция, обычно обозначаемая Δ x 0 f }f} от новой переменной Δ x 0 x = x − x 0 }x=x-x_} , определяемая как
      Где эта функция возрастает быстрее: ближе к прямой х=1 или дальше от нее; слева или справа?

    5. Вычислением показать, что функция у = log2x возрастает неограниченно.

    6. Показать, что: а) при 0 < x < 1 функция у < 0; б) при х = 1 функция у = 1; в) при х > 1 функция у > 0.

    7. Определить по графику значения функции у для следующих значений аргумента х: 1/3; 1; 1,5; 3; 5.

    8. Найти значения аргумента х, при которых функция принимает значения, равные -2,5; 0; 1,5; 2,5.

    9. Убедиться, что графики функций у = 2х и у = log2x симметричны относительно прямой у = х.